🔥初中数学必考！解一元二次不等式教案（公式+案例+易错点）

一、一元二次不等式基础概念

1.1 定义公式

一元二次不等式标准形式为ax²+bx+c>0（或<0），其中a≠0。重点注意：

- 三次项系数a的符号影响抛物线开口方向

- 判别式Δ=b²-4ac决定根的情况

- 求根公式x=[-b±√Δ]/(2a)

1.2 基础类型分类

（配方法）ax²+bx+c=0 → (x+h)² = k（k≥0）

（公式法）直接套用求根公式

（图像法）结合抛物线开口方向判断解集区间

二、经典解题四部曲（附公式表）

2.1 第一步：标准化处理

✅ ① 常数移项：将不等式变形为ax²+bx+c>0形式

✅ ② 提取公因式：如2x²-4x+2>0→2(x²-2x+1)>0

✅ ③ 化1系数：如3x²>6x-3→x²-2x+1>0

2.2 第二步：求根计算

📝 公式表：

根1 = [-b+√(b²-4ac)]/(2a)

根2 = [-b-√(b²-4ac)]/(2a)

（例：x²-5x+6=0→x=2/3）

2.3 第三步：画图定位

🔧 关键步骤：

1. 判断开口方向（a>0开口↑，a<0开口↓）

2. 标注根的位置（根1<根2）

3. 根据不等号方向确定抛物线哪侧为解集

（配图：开口向上的抛物线，x轴交于-1和2，不等号>0解集为x<-1或x>2）

2.4 第四步：写出解集

📝 区间表示法：

当a>0时：

- 大根∞（如x>2或x<-1）

- 小根-∞（如x<2或x>-1）

- 两根之间（如-1

三、6大高频题型精讲（含易错点）

3.1 单根情况（Δ=0）

📌 公式：ax²+bx+c=a(x-p)²>0

🔸 p=根的位置

🔸 解集：

- a>0时：x≠p

- a<0时：无解

3.2 开口方向影响

⚠️ 易错点：忘记开口方向导致解集颠倒

（例：-x²+4x>0→开口向下，解集为0

3.3 分式不等式转化

📌 转化原则：

① 移项→同号→通分

② 异号→乘以负数变号

（例：(x-1)/(x+2)>0→(x-1)(x+2)>0且x≠-2）

3.4 范围限定问题

📌 解法：

① 先求x²范围

② 转化为不等式组

（例：已知-1≤x≤3，求x²-4x+3<0的解）

3.5 参数讨论题

🔧 关键步骤：

1. 分情况讨论a的符号

2. 根的情况（Δ>0/Δ=0/Δ<0）

3. 综合解集

（例：kx²+2x+1>0恒成立→k>0且Δ<0）

3.6 实际应用题

📝 模型建立：

① 设未知数（如设成本为x）

② 建立不等式模型（如利润>0）

③ 解不等式求范围

（例：生产件数为x时，成本C=0.5x²+4x+200，求利润P=20x-C>0的x范围）

四、易错题专项突破（附自测题）

4.1 常见错误类型

⚠️ 错误1：忘记考虑分母不为零

（例：1/(x-2)>0→x>2）

⚠️ 错误2：直接乘以分母未变号

（例：（x+3)/(x-1)<0→x+3与x-1异号）

⚠️ 错误3：忽略a的符号影响

（例：-x²+2x>3→x²-2x+3<0无解）

4.2 自测题（答案见文末）

① 解：x²-4x+4>0

② 解：3x²-2x-5≤0

③ 解：(2x-1)/(x+3)≥0

④ 应用题：某商品定价为x元时，成本C=0.1x²+5元，求销量超过成本时x的范围

五、与提分技巧

✅ 三步记忆法：

1. 配方法→求根公式→图像法

2. 开口方向→根的位置→解集区间

3. 常见错误→专项突破→自测巩固

✅ 高频考点清单：

- 配方法应用（占比30%）

- 判别式与根的关系（占比25%）

- 分式不等式转化（占比20%）

- 参数讨论（占比15%）

- 实际应用建模（占比10%）

✅ 逆袭技巧：

1. 建立"公式卡片"贴在书桌前

2. 准备"错题本"分类整理典型错误

3. 每周完成2套专题练习（推荐《初中数学压轴题精编》）

📝 文末彩蛋：完整解题流程图解（扫码获取）

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